Kurt Gödel

Œuvres

• 1931Sur des propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés I

  Les théorèmes d’incomplétude : aucun système cohérent de ce type ne peut démontrer toutes les vérités arithmétiques, ni sa propre cohérence.

• 1947What Is Cantor’s Continuum Problem? (Qu’est-ce que le problème du continu de Cantor ?)

  Les objets mathématiques existent indépendamment de nous et sont saisis par une sorte d’intuition ; des questions indécidées comme l’hypothèse du continu ont encore une réponse.

Position

L’article de 1931 montra que tout système formel cohérent qui contient l’arithmétique élémentaire et dont les axiomes peuvent être énumérés mécaniquement laisse indécidées certaines propositions arithmétiques : il existe une proposition vraie qu’il ne peut pas démontrer. Un second théorème ajoute qu’un tel système ne peut pas démontrer sa propre cohérence. Gödel y parvint en codant formules et démonstrations par des nombres, de sorte qu’une proposition pouvait en fait dire d’elle-même qu’elle est indémontrable. Ce résultat mit fin à l’espoir du programme de Hilbert de fonder toutes les mathématiques par des preuves finitaires de cohérence, et sa méthode d’arithmétisation fut reprise par Turing et Carnap. Gödel montra aussi que l’axiome du choix et l’hypothèse du continu sont cohérents avec les axiomes usuels de la théorie des ensembles (1938–40). Philosophiquement, il était platonicien : les objets mathématiques existent indépendamment de nous et sont saisis par une sorte d’intuition, de sorte que des questions comme l’hypothèse du continu ont une réponse déterminée même si les axiomes ne la tranchent pas. Il critiqua la théorie « sans classes » de Russell et, dans des brouillons jamais publiés de son vivant, la conception carnapienne des mathématiques comme syntaxe. Il étudia Leibniz et, à partir de la fin des années 1950, Husserl, trouva des solutions des équations d’Einstein décrivant des univers en rotation (1949), et laissa des notes pour une version modale de la preuve ontologique de l’existence de Dieu.

Vie et contexte

Kurt Gödel naquit en 1906 à Brünn (Brno) dans une famille germanophone. À partir de 1924, il étudia la physique puis les mathématiques à Vienne, où il suivit le séminaire de Moritz Schlick et les réunions du Cercle de Vienne sans partager son positivisme. Sa dissertation sous la direction de Hans Hahn (1929) démontra la complétude de la logique du premier ordre ; les théorèmes d’incomplétude suivirent en 1931. Il séjourna plusieurs fois à l’Institute for Advanced Study de Princeton à partir de 1933 et connut des crises dépressives répétées. Après l’annexion de l’Autriche, son poste de chargé de cours à l’université devint caduc et, en 1940, lui et son épouse Adele émigrèrent par le Transsibérien et le Japon. À Princeton, il fut le compagnon de promenade quotidien d’Einstein. Il devint citoyen américain en 1948. Craignant d’être empoisonné, il ne mangea presque rien pendant qu’Adele était à l’hôpital, et il mourut à Princeton en janvier 1978.

Autres œuvres principales

• The Completeness of the Axioms of the Functional Calculus of Logic (traduction propre : « La complétude des axiomes du calcul fonctionnel de la logique », thèse 1929, publiée en 1930)
• On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems I (traduction propre : « Sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés I », 1931)
• The Consistency of the Continuum Hypothesis (traduction propre : « La cohérence de l’hypothèse du continu », 1940)
• Russell’s Mathematical Logic (traduction propre : « La logique mathématique de Russell », 1944)
• What Is Cantor’s Continuum Problem? (traduction propre : « Qu’est-ce que le problème du continu de Cantor ? », 1947)
• An Example of a New Type of Cosmological Solutions of Einstein’s Field Equations (traduction propre : « Un exemple d’un nouveau type de solutions cosmologiques des équations de champ d’Einstein », 1949)