What Is Cantor’s Continuum Problem? (Qu’est-ce que le problème du continu de Cantor ?)

Introduction

Gödel écrivit cet article d’exposition pour l’American Mathematical Monthly en 1947 et en publia une version révisée avec un supplément en 1964. L’hypothèse du continu de Cantor affirme qu’il n’existe aucun ensemble dont la taille se situe strictement entre celle des nombres naturels et celle des nombres réels. Gödel avait montré en 1938–1940 qu’on ne peut la réfuter à partir des axiomes usuels de la théorie des ensembles ; il soupçonnait qu’on ne pouvait pas non plus la démontrer à partir d’eux – ce que Paul Cohen établit en 1963 – et la tenait lui-même pour fausse. Une telle indépendance, soutient-il, ne rend pas la question dénuée de sens : de nouveaux axiomes, reconnus comme vrais, pourraient la trancher. L’article est l’une des formulations classiques du platonisme mathématique.

Autres œuvres de Kurt Gödel

• 1931Sur des propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés I