Sur des propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés I

Introduction

Kurt Gödel, âgé de 24 ans et travaillant à Vienne, annonça le résultat lors d’un congrès à Königsberg en septembre 1930 ; l’article parut dans les Monatshefte für Mathematik und Physik en 1931. Il porte sur des systèmes formels assez forts pour exprimer l’arithmétique élémentaire, comme le système des Principia Mathematica de Russell et Whitehead. Gödel code les formules et les preuves par des nombres (« numérotation de Gödel ») et construit un énoncé qui dit en effet de lui-même qu’il n’est pas démontrable ; si le système est cohérent, cet énoncé est vrai mais indémontrable en son sein. Le second théorème en découle. On considère généralement que le résultat a mis en échec le but initial du programme de David Hilbert, fonder toutes les mathématiques sur une preuve de cohérence finitiste. La partie II prévue ne parut jamais.

Liens

Répond à

• Principia Mathematica1910 · Bertrand Russell

Reprise dans

• Théorie des nombres calculables, suivie d’une application au problème de la décision1936 · Alan Turing

Autres œuvres de Kurt Gödel

• 1947What Is Cantor’s Continuum Problem? (Qu’est-ce que le problème du continu de Cantor ?)