Georg Cantor
Cantor soutenait que l’infini peut être traité mathématiquement comme un tout achevé : les ensembles infinis diffèrent par leur taille, et au-delà des nombres finis se trouvent des nombres transfinis que l’on peut ordonner et comparer.
Repères
Mathématicien de Halle, fondateur de la théorie des ensembles : il montra que les ensembles infinis existent en tailles différentes et bâtit une théorie des nombres transfinis à laquelle Frege, Hilbert, Russell et Gödel durent chacun répondre.
Idées clés
- Ensembles infinis de tailles différentes
- Nombres transfinis
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Influence
A influencé 3
David Hilbert
a influencé
Hilbert placed Cantor’s continuum problem and the well-ordering problem first in his 1900 list, and Cantor wrote to him about his views on sets in 1899. SEP “The Early Development of Set Theory” (J. Ferreirós), §§2–3 (letter to Hilbert of 15 Nov. 1899; Hilbert’s Problem 1)
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David Hilbert › 1862–1943
Bertrand Russell
a influencé ✓
Russell read Cantor intensively in his youth, and his paradox arose from a study of Cantor’s theorem. SEP “Bertrand Russell” (A. D. Irvine), on the Autobiography; SEP “The Early Development of Set Theory” (J. Ferreirós)
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Bertrand Russell › 1872–1970
Kurt Gödel
a influencé
Gödel’s paper on Cantor’s continuum problem takes up Cantor’s open question and presses the iterative conception of sets. SEP “The Early Development of Set Theory” (J. Ferreirós), §§3–4 (Gödel on Cantor’s continuum problem, iterative conception)
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Kurt Gödel › 1906–1978
Critique
Critique réciproque 1
Gottlob Frege ⇄ réciproque
a critiqué
Cantor’s 1885 review of Frege’s Grundlagen objected to Frege’s attempt to define number through extensions of concepts. P. Ebert and M. Rossberg, “Cantor on Frege’s Foundations of Arithmetic”, History and Philosophy of Logic 30 (2009), 341–348
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critiqué par
Frege’s 1892 review of Cantor’s collected papers on the transfinite (and an unpublished draft of 1890) objects to Cantor’s appeal to mental abstraction. Frege, review of Cantor, Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik 100 (1892), 269–272, tr. in Collected Papers (1984), pp. 178–181
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Gottlob Frege › 1848–1925
Œuvres
Introduit les ensembles bien ordonnés et les nombres ordinaux transfinis et répond aux critiques de Cantor ; paru aussi en monographie séparée, c’est l’ouvrage où sa théorie des ensembles prit forme.
Derniers articles importants de Cantor sur la théorie des ensembles, en deux parties (1895, 1897) dans les Mathematische Annalen : nombres cardinaux, types d’ordre, ensembles bien ordonnés et nombres ordinaux.
Position
Cantor figure sur la carte comme le fondateur de la théorie des ensembles. Travaillant sur les séries trigonométriques, il montra en 1874 que les nombres réels ne peuvent être mis en correspondance biunivoque avec les nombres naturels, si bien que les ensembles infinis existent en tailles différentes. Dans Fondements d’une théorie générale des ensembles (1883), il introduisit les ensembles bien ordonnés et les nombres ordinaux transfinis, et les articles de 1895 et de 1897 donnèrent l’exposé définitif des nombres cardinaux et ordinaux. Il conjectura l’hypothèse du continu en 1878 sans pouvoir la trancher ; Hilbert la plaça en tête de sa liste de problèmes de 1900, et Gödel écrivit plus tard à son sujet. Vers 1896, il connaissait les paradoxes des ordinaux et des alephs, qu’il communiqua à Hilbert en 1899 et qu’il ne traita pas comme une menace. Cantor rendit compte en 1885 des Fondements de l’arithmétique de Frege et objecta à la définition frégéenne du nombre par les extensions de concepts ; le compte rendu de Frege sur son recueil d’articles, en 1892, objecta à son recours à l’abstraction mentale. Russell lut Cantor intensivement dans sa jeunesse, et son paradoxe naquit d’une étude du théorème de Cantor.
Vie et contexte
Georg Cantor naquit le 3 mars 1845 à Saint-Pétersbourg et grandit à Darmstadt. Il entra à l’École polytechnique fédérale de Zurich en 1862, passa à l’université de Berlin après la mort de son père en 1863 et y passa son doctorat en 1867 avec une thèse de théorie des nombres. En 1869, il passa son habilitation à Halle, où il fit toute sa carrière : professeur extraordinaire en 1872, professeur titulaire en 1879. Leopold Kronecker, son ancien professeur à Berlin, s’opposa à son œuvre et fit obstacle à une nomination là-bas. À partir de 1884, Cantor souffrit de dépressions récurrentes, avec des séjours répétés en sanatorium. Il mourut le 6 janvier 1918 à Halle.
Autres œuvres principales
- Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen (traduction propre : « Sur une propriété de l’ensemble de tous les nombres algébriques réels », 1874)
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