Kurt Gödel
In jedem widerspruchsfreien Regelsystem, das stark genug für die Arithmetik ist, gibt es wahre Aussagen, die es nie beweisen kann – mathematische Wahrheit reicht weiter als das, was ein einzelnes solches System beweisen kann.
Einordnung
Logiker im Umfeld des Wiener Kreises: Jedes widerspruchsfreie formale System, das die Arithmetik umfasst, enthält wahre Sätze, die es nicht beweisen kann, und kann seine eigene Widerspruchsfreiheit nicht beweisen. Philosophisch vertrat er einen Platonismus mathematischer Gegenstände.
Kernideen
- Unvollständigkeitssätze
- Vollständigkeit der Prädikatenlogik erster Stufe
- Mathematischer Platonismus
- Rotierendes Universum
Einfluss
Beeinflusst von 5
Gottfried Wilhelm Leibniz
beeinflusst von
Gödel studierte Leibniz eingehend und suchte wie dieser zuerst zu zeigen, dass Gott möglich ist, in einem modalen ontologischen Beweis aus positiven Eigenschaften (Notizen 1970; gedruckt 1987). K. Gödel, “Ontological Proof” (1970), in Collected Works III (1995); J. H. Sobel, “Gödel’s Ontological Proof”, in J. J. Thomson (ed.), On Being and Saying (1987); SEP “Kurt Gödel”
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Gottfried Wilhelm Leibniz › 1646–1716
Georg Cantor
beeinflusst von
Gödels Aufsatz zu Cantors Kontinuumproblem greift Cantors offene Frage auf und vertritt die iterative Auffassung der Mengen. SEP “The Early Development of Set Theory” (J. Ferreirós), §§3–4 (Gödel on Cantor’s continuum problem, iterative conception)
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Georg Cantor › 1845–1918
Edmund Husserl
beeinflusst von
Gödel studierte Husserl seit 1959 und schlug die Phänomenologie als Methode vor, um den Sinn mathematischer Begriffe und die mathematische Anschauung zu klären (Entwurf 1961; gedruckt 1995). K. Gödel, “The Modern Development of the Foundations of Mathematics in the Light of Philosophy” (1961), in Collected Works III (1995); SEP “Kurt Gödel”
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Edmund Husserl › 1859–1938
Albert Einstein
beeinflusst von
Zu Einsteins siebzigstem Geburtstag fand Gödel Lösungen seiner Feldgleichungen mit rotierenden Universen und argumentierte, die Relativitätstheorie stütze eine idealistische Auffassung der Zeit (1949). K. Gödel, “An Example of a New Type of Cosmological Solutions of Einstein’s Field Equations of Gravitation”, Reviews of Modern Physics 21 (1949); “A Remark about the Relationship between Relativity Theory and Idealistic Philosophy”, in P. A. Schilpp (ed.), Albert Einstein: Philosopher-Scientist (1949); SEP “Kurt Gödel”
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Albert Einstein › 1879–1955
Moritz Schlick
beeinflusst von
Gödel besuchte Schlicks Seminar über Russells Einführung in die mathematische Philosophie und ab 1926 Sitzungen des Wiener Kreises, ohne dessen Positivismus zu übernehmen. J. W. Dawson, Logical Dilemmas: The Life and Work of Kurt Gödel (1997); SEP “Kurt Gödel”
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Moritz Schlick › 1882–1936
Beeinflusste 2
Rudolf Carnap
beeinflusste
Carnap nutzte Gödels Arithmetisierung, um die Syntax einer Sprache in dieser selbst zu formulieren, und trennte nach den Unvollständigkeitssätzen Ableitbarkeit von Folgerung (Logische Syntax der Sprache, 1934). R. Carnap, Logische Syntax der Sprache (1934); K. Gödel, “Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I”, Monatshefte für Mathematik und Physik 38 (1931); SEP “Rudolf Carnap”
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Rudolf Carnap › 1891–1970
Alan Turing
beeinflusste
Turing setzte seinen Unlösbarkeitsbeweis für das Entscheidungsproblem zu Gödels Unvollständigkeitssatz in Beziehung und codierte, wie Gödels Arithmetisierung, Maschinen als Zahlen („On Computable Numbers“, 1936). A. M. Turing, “On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem”, Proceedings of the London Mathematical Society 42 (1936–37); K. Gödel, Monatshefte für Mathematik und Physik 38 (1931); SEP “Alan Turing”
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Alan Turing › 1912–1954
Kritik
Kritisiert von 1
Ludwig Wittgenstein
kritisiert von
Wittgenstein bezweifelte die philosophische Tragweite von Gödels Unvollständigkeitssatz und ob „wahr, aber unbeweisbar“ außerhalb eines Systems Sinn habe (Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik, 1956). L. Wittgenstein, Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik (1956), part I, appendix I (3rd ed. 1978: appendix III); SEP “Wittgenstein’s Philosophy of Mathematics”
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Ludwig Wittgenstein › 1889–1951
Kritisiert 2
David Hilbert beeinflusst von
beeinflusst von
Gödel beantwortete die in Hilberts und Ackermanns Grundzügen der theoretischen Logik (1928) gestellte Frage, indem er die Vollständigkeit der Prädikatenlogik erster Stufe bewies (Dissertation 1929; gedruckt 1930). D. Hilbert and W. Ackermann, Grundzüge der theoretischen Logik (1928); K. Gödel, “Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls”, Monatshefte für Mathematik und Physik 37 (1930); SEP “Kurt Gödel”
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kritisierte
Gödels zweiter Unvollständigkeitssatz (1931) gilt meist als Ende von Hilberts Programm finiter Widerspruchsfreiheitsbeweise; Gödel selbst schrieb, er widerspreche Hilberts formalistischem Standpunkt nicht. K. Gödel, “Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I”, Monatshefte für Mathematik und Physik 38 (1931), 173–198; SEP “Hilbert’s Program”
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David Hilbert › 1862–1943
Bertrand Russell beeinflusst von
beeinflusst von
Gödel nahm die Principia Mathematica als formales System seiner Unvollständigkeitssätze (1931) und begrüßte Russells frühen Realismus über Klassen und Begriffe („Russell’s Mathematical Logic“, 1944). K. Gödel, “Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I”, Monatshefte für Mathematik und Physik 38 (1931); “Russell’s Mathematical Logic”, in P. A. Schilpp (ed.), The Philosophy of Bertrand Russell (1944); SEP “Kurt Gödel”
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kritisierte
Gödel kritisierte Russells Teufelskreisprinzip und dessen „no-class theory“ als zu restriktiv für die klassische Mathematik und verteidigte Klassen und Begriffe als reale Gegenstände („Russell’s Mathematical Logic“, 1944). K. Gödel, “Russell’s Mathematical Logic”, in P. A. Schilpp (ed.), The Philosophy of Bertrand Russell (1944), 123–153
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Bertrand Russell › 1872–1970
Werke
Die Unvollständigkeitssätze: Kein widerspruchsfreies System dieser Art kann alle arithmetischen Wahrheiten beweisen, auch nicht seine eigene Widerspruchsfreiheit.
Mathematische Gegenstände existieren unabhängig von uns und werden durch eine Art Anschauung erfasst; auch unentschiedene Fragen wie die Kontinuumshypothese haben eine Antwort.
Position
Die Arbeit von 1931 zeigte: Jedes widerspruchsfreie formale System, das die elementare Arithmetik enthält und dessen Axiome sich mechanisch aufzählen lassen, lässt manche arithmetischen Sätze unentschieden – es gibt einen wahren Satz, den es nicht beweisen kann. Ein zweiter Satz fügt hinzu, dass ein solches System seine eigene Widerspruchsfreiheit nicht beweisen kann. Gödel erreichte das, indem er Formeln und Beweise als Zahlen codierte, sodass ein Satz gleichsam von sich selbst sagen konnte, er sei unbeweisbar. Das Ergebnis beendete die Hoffnung von Hilberts Programm, die ganze Mathematik durch finite Widerspruchsfreiheitsbeweise zu sichern, und seine Methode der Arithmetisierung griffen Turing und Carnap auf. Gödel zeigte außerdem, dass Auswahlaxiom und Kontinuumshypothese mit den üblichen Axiomen der Mengenlehre verträglich sind (1938–1940). Philosophisch war er Platoniker: Mathematische Gegenstände existieren unabhängig von uns und werden durch eine Art Anschauung erfasst; daher haben Fragen wie die Kontinuumshypothese eine bestimmte Antwort, auch wenn die Axiome sie nicht entscheiden. Er kritisierte Russells Theorie ohne Klassen und, in zu Lebzeiten unveröffentlichten Entwürfen, Carnaps Auffassung der Mathematik als Syntax. Er studierte Leibniz und ab Ende der 1950er-Jahre Husserl, fand Lösungen der einsteinschen Gleichungen mit rotierenden Universen (1949) und hinterließ Notizen zu einer modallogischen Fassung des ontologischen Gottesbeweises.
Leben & Kontext
Kurt Gödel wurde 1906 in Brünn (Brno) in eine deutschsprachige Familie geboren. Ab 1924 studierte er in Wien Physik, dann Mathematik; er besuchte Moritz Schlicks Seminar und Sitzungen des Wiener Kreises, ohne dessen Positivismus zu teilen. Seine Dissertation bei Hans Hahn (1929) bewies die Vollständigkeit der Prädikatenlogik erster Stufe; 1931 folgten die Unvollständigkeitssätze. Ab 1933 war er mehrmals am Institute for Advanced Study in Princeton und erlitt wiederholt depressive Krisen. Nach dem „Anschluss“ Österreichs verfiel seine Stellung als Universitätsdozent, und 1940 emigrierten er und seine Frau Adele über die Transsibirische Eisenbahn und Japan. In Princeton war er täglicher Spaziergangsbegleiter Einsteins. 1948 wurde er US-Bürger. Aus Angst vor Vergiftung aß er fast nichts, während Adele im Krankenhaus lag, und starb im Januar 1978 in Princeton.
Weitere Hauptwerke
- Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls (Dissertation 1929, gedruckt 1930)
- The Consistency of the Continuum Hypothesis (1940)
- Russells mathematische Logik (1944)
- An Example of a New Type of Cosmological Solutions of Einstein’s Field Equations (1949)
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