David Hilbert

Œuvres

• 1899Les fondements de la géométrie

  Construction axiomatique de la géométrie euclidienne à partir de cinq groupes d’axiomes portant sur des « points », des « droites » et des « plans » non définis ; la cohérence et l’indépendance des axiomes sont prouvées par des modèles. Frege objecta que les axiomes doivent être vrais d’objets donnés.

• 1900Sur les problèmes futurs des mathématiques

  Conférence au Congrès international des mathématiciens à Paris ; la version imprimée expose 23 problèmes ouverts (la conférence elle-même en présenta dix), parmi lesquels l’hypothèse du continu et la cohérence des axiomes de l’arithmétique, dans la conviction qu’en mathématiques il n’y a pas d’« ignorabimus ».

• 1928Grundzüge der theoretischen Logik (Principes de logique théorique)

  Manuel écrit avec Wilhelm Ackermann à partir des cours de Hilbert : il expose la logique propositionnelle et la logique du premier ordre et pose deux questions ouvertes – la logique du premier ordre est-elle complète, et existe-t-il une procédure de décision ? –, auxquelles répondirent Gödel (1929) puis Church et Turing (1936).

Position

Hilbert figure sur la carte pour les fondements des mathématiques et de la logique. Ses « Fondements de la géométrie » (1899) bâtirent la géométrie euclidienne sur des groupes d’axiomes dont les termes de base – point, droite, plan – ne reçoivent leur sens que des axiomes ; il prouva l’indépendance des axiomes par des modèles et soutint que la cohérence des axiomes suffit à l’existence des objets qu’ils définissent. Frege objecta, dans des lettres et deux articles, que les axiomes doivent être des énoncés vrais sur des objets donnés ; cet échange est un classique de la philosophie des mathématiques. En réponse aux paradoxes de la théorie des ensembles et à l’intuitionnisme de Brouwer, Hilbert proposa dans les années 1920 de formaliser entièrement les mathématiques et de prouver la cohérence de ces systèmes formels par des moyens « finitaires », en raisonnant sur des chaînes finies de signes qu’il tenait pour aussi sûres que l’arithmétique élémentaire. Les mathématiques de l’infini seraient ainsi justifiées comme instrument, et nul ne devrait chasser les mathématiciens « du paradis que Cantor a créé ». Avec Ackermann, il posa aussi le problème de la décision : existe-t-il une procédure mécanique qui décide si une formule de la logique est valide ? Les théorèmes d’incomplétude de Gödel (1931) montrèrent que la cohérence de l’arithmétique ne peut être prouvée au sein de l’arithmétique elle-même, de sorte que le programme ne pouvait réussir sous sa forme originelle ; Church et Turing (1936) répondirent négativement au problème de la décision. Des versions modifiées du programme se poursuivent en théorie de la preuve. Son allocution de Königsberg de 1930 s’achevait sur les mots « Nous devons savoir – nous saurons », contre l’« ignorabimus » d’Emil du Bois-Reymond.

Vie et contexte

David Hilbert naquit le 23 janvier 1862 à Königsberg, en Prusse-Orientale (selon certaines sources, à Wehlau, tout près), et y étudia les mathématiques, où Hermann Minkowski et Adolf Hurwitz devinrent ses amis ; il passa son doctorat en 1885 sous la direction de Ferdinand Lindemann. Il devint professeur à Königsberg en 1893 et gagna Göttingen en 1895, où il resta jusqu’à son départ à la retraite en 1930 et contribua à faire de l’université un centre des mathématiques ; Edmund Husserl y fut son collègue de 1901 à 1916. Au Congrès international des mathématiciens à Paris en 1900, il parla de problèmes mathématiques ; la version imprimée de la conférence exposait 23 problèmes qui orientèrent une grande partie de la recherche du siècle suivant. Il soutint l’habilitation d’Emmy Noether contre les résistances de la faculté. Dans les années 1920, il travailla avec Paul Bernays et Wilhelm Ackermann sur les fondements des mathématiques. Après 1933, nombre de ses collègues et élèves furent chassés par le régime nazi. Il mourut à Göttingen le 14 février 1943.

Autres œuvres principales

• Neubegründung der Mathematik (traduction propre : « Nouvelle fondation des mathématiques », 1922)
• Über das Unendliche (traduction propre : « Sur l’infini », 1926)
• Grundzüge der theoretischen Logik (traduction propre : « Principes de logique théorique », avec W. Ackermann, 1928)
• Grundlagen der Mathematik (traduction propre : « Fondements des mathématiques », avec P. Bernays, 2 vol., 1934–39)