David Hilbert

Werke

• 1899Grundlagen der Geometrie

  Axiomatischer Aufbau der euklidischen Geometrie aus fünf Gruppen von Axiomen für undefinierte „Punkte“, „Geraden“ und „Ebenen“; Widerspruchsfreiheit und Unabhängigkeit der Axiome werden an Modellen bewiesen. Frege wandte ein, Axiome müssten von gegebenen Gegenständen wahr sein.

• 1900Mathematische Probleme

  Vortrag auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Paris; die gedruckte Fassung nennt 23 offene Probleme (im Vortrag selbst zehn), darunter die Kontinuumshypothese und die Widerspruchsfreiheit der arithmetischen Axiome, getragen von der Überzeugung, dass es in der Mathematik kein „Ignorabimus“ gibt.

• 1928Grundzüge der theoretischen Logik

  Mit Wilhelm Ackermann aus Hilberts Vorlesungen erarbeitetes Lehrbuch: Es stellt Aussagen- und Prädikatenlogik erster Stufe dar und stellt zwei offene Fragen – ob die Prädikatenlogik erster Stufe vollständig ist und ob es ein Entscheidungsverfahren gibt –, die Gödel (1929) sowie Church und Turing (1936) beantworteten.

Position

Hilbert steht auf der Karte für die Grundlagen der Mathematik und der Logik. Seine „Grundlagen der Geometrie“ (1899) bauten die euklidische Geometrie auf Gruppen von Axiomen auf, deren Grundbegriffe – Punkt, Gerade, Ebene – ihre Bedeutung erst durch die Axiome erhalten; die Unabhängigkeit der Axiome bewies er an Modellen und hielt die Widerspruchsfreiheit der Axiome für hinreichend für die Existenz der durch sie bestimmten Gegenstände. Frege wandte in Briefen und zwei Aufsätzen ein, Axiome müssten wahre Sätze über gegebene Gegenstände sein; der Austausch ist ein Klassiker der Philosophie der Mathematik. Als Antwort auf die Paradoxien der Mengenlehre und auf Brouwers Intuitionismus schlug Hilbert in den 1920er Jahren vor, die Mathematik vollständig zu formalisieren und die Widerspruchsfreiheit dieser formalen Systeme mit „finiten“ Mitteln zu beweisen, durch Überlegungen über endliche Zeichenreihen, die er für so sicher hielt wie die elementare Arithmetik. Die Mathematik des Unendlichen wäre so als Instrument gerechtfertigt, und niemand solle die Mathematiker „aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen“, vertreiben. Mit Ackermann stellte er auch das Entscheidungsproblem: Gibt es ein mechanisches Verfahren, das entscheidet, ob eine logische Formel allgemeingültig ist? Gödels Unvollständigkeitssätze (1931) zeigten, dass sich die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik nicht in der Arithmetik selbst beweisen lässt, das Programm in seiner ursprünglichen Form also nicht gelingen konnte; Church und Turing (1936) beantworteten das Entscheidungsproblem negativ. Abgewandelte Fassungen des Programms leben in der Beweistheorie fort. Seine Königsberger Rede von 1930 endete mit den Worten „Wir müssen wissen – wir werden wissen“, gegen das „Ignorabimus“ Emil du Bois-Reymonds.

Leben & Kontext

David Hilbert wurde am 23. Januar 1862 in Königsberg in Ostpreußen geboren (nach manchen Quellen im nahen Wehlau) und studierte dort Mathematik, wo Hermann Minkowski und Adolf Hurwitz seine Freunde wurden; 1885 wurde er bei Ferdinand Lindemann promoviert. 1893 wurde er Professor in Königsberg und ging 1895 nach Göttingen, wo er bis zu seiner Emeritierung 1930 blieb und die Universität zu einem Zentrum der Mathematik machen half; Edmund Husserl war dort von 1901 bis 1916 sein Kollege. Auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Paris 1900 sprach er über mathematische Probleme; die gedruckte Fassung des Vortrags nennt 23 Probleme, die einen großen Teil der Forschung des folgenden Jahrhunderts prägten. Gegen Widerstand in der Fakultät unterstützte er die Habilitation Emmy Noethers. In den 1920er Jahren arbeitete er mit Paul Bernays und Wilhelm Ackermann über die Grundlagen der Mathematik. Nach 1933 wurden viele seiner Kollegen und Schüler vom NS-Regime vertrieben. Er starb am 14. Februar 1943 in Göttingen.

Weitere Hauptwerke

• Neubegründung der Mathematik (1922)
• Über das Unendliche (1926)
• Grundlagen der Mathematik (mit P. Bernays, 2 Bde., 1934–39)