Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I

Einführung

Kurt Gödel, 24 Jahre alt und in Wien tätig, kündigte das Ergebnis im September 1930 auf einer Tagung in Königsberg an; der Aufsatz erschien 1931 in den Monatsheften für Mathematik und Physik. Er betrifft formale Systeme, die stark genug sind, die elementare Arithmetik auszudrücken, etwa das System der „Principia Mathematica“ von Russell und Whitehead. Gödel verschlüsselt Formeln und Beweise als Zahlen („Gödelisierung“) und bildet einen Satz, der in gewissem Sinn von sich selbst sagt, dass er unbeweisbar ist; ist das System widerspruchsfrei, so ist dieser Satz wahr, aber in ihm nicht beweisbar. Daraus folgt der zweite Satz. Das Ergebnis gilt allgemein als Ende des ursprünglichen Ziels von David Hilberts Programm, die ganze Mathematik durch einen finiten Widerspruchsfreiheitsbeweis abzusichern. Der geplante Teil II erschien nie.

Verbindungen

Antwortet auf

• Principia Mathematica1910 · Bertrand Russell

Aufgegriffen in

• Über berechenbare Zahlen mit einer Anwendung auf das Entscheidungsproblem (On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem)1936 · Alan Turing

Weitere Werke von Kurt Gödel

• 1947Was ist Cantors Kontinuumproblem?