Georg Cantor

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Georg Cantor

1845–1918

Erster Zugangbewusst vereinfacht – das Porträt erzählt mehr

Nach Cantor lässt sich das Unendliche mathematisch als vollendetes Ganzes behandeln: Unendliche Mengen sind verschieden groß, und jenseits der endlichen Zahlen liegen transfinite Zahlen, die sich ordnen und vergleichen lassen.

Einordnung

Analytische Philosophie · Osteuropa · Logik, Wissenschaft, Metaphysik

Mathematiker in Halle, der die Mengenlehre begründete: Er zeigte, dass unendliche Mengen verschieden groß sind, und baute eine Theorie der transfiniten Zahlen auf, auf die Frege, Hilbert, Russell und Gödel je antworten mussten.

Kernideen

Unendliche Mengen verschiedener Größe
Transfinite Zahlen

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Einfluss

Beeinflusste 3

David Hilbert

beeinflusste
Hilbert stellte Cantors Kontinuumproblem und das Wohlordnungsproblem 1900 an die Spitze seiner Liste, und Cantor schrieb ihm 1899 über seine Ansichten zu den Mengen. SEP “The Early Development of Set Theory” (J. Ferreirós), §§2–3 (letter to Hilbert of 15 Nov. 1899; Hilbert’s Problem 1)
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David Hilbert › 1862–1943
Bertrand Russell

beeinflusste ✓
Russell las Cantor in seiner Jugend intensiv, und sein Paradox entstand aus dem Studium von Cantors Satz. SEP “Bertrand Russell” (A. D. Irvine), on the Autobiography; SEP “The Early Development of Set Theory” (J. Ferreirós)
Beleg: auch in Wikidata · Wikidata
Bertrand Russell › 1872–1970
Kurt Gödel

beeinflusste
Gödels Aufsatz zu Cantors Kontinuumproblem greift Cantors offene Frage auf und vertritt die iterative Auffassung der Mengen. SEP “The Early Development of Set Theory” (J. Ferreirós), §§3–4 (Gödel on Cantor’s continuum problem, iterative conception)
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Kurt Gödel › 1906–1978

Kritik

Gegenseitige Kritik 1

Gottlob Frege ⇄ gegenseitig

kritisierte
Cantors Besprechung von Freges Grundlagen von 1885 wandte sich gegen Freges Versuch, die Zahl durch Begriffsumfänge zu definieren. P. Ebert and M. Rossberg, “Cantor on Frege’s Foundations of Arithmetic”, History and Philosophy of Logic 30 (2009), 341–348
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kritisiert von
Freges Besprechung von Cantors gesammelten Abhandlungen zum Transfiniten von 1892 (und ein unveröffentlichter Entwurf von 1890) wendet sich gegen Cantors Berufung auf geistige Abstraktion. Frege, review of Cantor, Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik 100 (1892), 269–272, tr. in Collected Papers (1984), pp. 178–181
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Gottlob Frege › 1848–1925

Werke

1883Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre
Führt die wohlgeordneten Mengen und die transfiniten Ordnungszahlen ein und antwortet Cantors Kritikern; es erschien auch als eigene Schrift und ist das Werk, in dem seine Mengenlehre ihre Gestalt fand.
1895Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre
Cantors letzte bedeutende Arbeiten zur Mengenlehre, in zwei Teilen (1895, 1897) in den Mathematischen Annalen: Kardinalzahlen, Ordnungstypen, wohlgeordnete Mengen und Ordinalzahlen.

Position

Cantor steht auf der Karte als Begründer der Mengenlehre. Bei der Arbeit an trigonometrischen Reihen zeigte er 1874, dass sich die reellen Zahlen nicht umkehrbar eindeutig den natürlichen Zahlen zuordnen lassen, unendliche Mengen also verschieden groß sind. In den Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre (1883) führte er wohlgeordnete Mengen und die transfiniten Ordnungszahlen ein, und die Arbeiten von 1895 und 1897 gaben die abschließende Darstellung der Kardinal- und Ordinalzahlen. Die Kontinuumhypothese vermutete er 1878 und konnte sie nicht entscheiden; Hilbert stellte sie 1900 an die Spitze seiner Problemliste, und Gödel schrieb später darüber. Um 1896 kannte er die Paradoxien der Ordinalzahlen und der Alephs, von denen er Hilbert 1899 berichtete und die er nicht als Bedrohung ansah. Cantor besprach 1885 Freges Grundlagen der Arithmetik und wandte sich gegen Freges Definition der Zahl durch Begriffsumfänge; Freges Besprechung seiner gesammelten Abhandlungen von 1892 wandte sich gegen seine Berufung auf geistige Abstraktion. Russell las Cantor in seiner Jugend intensiv, und sein Paradox entstand aus dem Studium von Cantors Satz.

Leben & Kontext

Georg Cantor wurde am 3. März 1845 in St. Petersburg geboren und wuchs in Darmstadt auf. 1862 trat er in das Eidgenössische Polytechnikum Zürich ein, wechselte nach dem Tod seines Vaters 1863 an die Universität Berlin und promovierte dort 1867 mit einer zahlentheoretischen Arbeit. 1869 habilitierte er sich in Halle, wo er seine ganze Laufbahn verbrachte: 1872 außerordentlicher, 1879 ordentlicher Professor. Leopold Kronecker, sein früherer Lehrer in Berlin, widersetzte sich seiner Arbeit und stand einer Berufung dorthin im Weg. Ab 1884 litt Cantor an wiederkehrenden Depressionen mit mehreren Sanatoriumsaufenthalten. Er starb am 6. Januar 1918 in Halle.