Œuvre · Philosophie analytique
Les fondements de la géométrie
Construction axiomatique de la géométrie euclidienne à partir de cinq groupes d’axiomes portant sur des « points », des « droites » et des « plans » non définis ; la cohérence et l’indépendance des axiomes sont prouvées par des modèles. Frege objecta que les axiomes doivent être vrais d’objets donnés.
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Introduction
Hilbert publia Les Fondements de la géométrie (« Grundlagen der Geometrie ») en 1899 dans la publication commémorative de l’inauguration du monument Gauss-Weber à Göttingen ; le livre connut de nombreuses éditions révisées. Il bâtit la géométrie euclidienne sur cinq groupes d’axiomes – d’incidence, d’ordre, de congruence, des parallèles et de continuité – pour trois systèmes de choses non définies appelées points, droites et plans, dont les propriétés sont fixées par les seuls axiomes. Hilbert prouva la cohérence des axiomes relativement à l’arithmétique par un modèle en nombres et leur indépendance par des modèles où un axiome fait défaut, et montra quels théorèmes dépendent de quels axiomes. Comme devise, il choisit la phrase de Kant selon laquelle toute connaissance humaine commence par des intuitions, passe de là aux concepts et s’achève par des idées. Frege objecta dans des lettres (1899–1900) et deux articles que les axiomes doivent être des énoncés vrais portant sur des objets donnés ; Hilbert répondit que la cohérence suffit. Le livre fit de la méthode axiomatique abstraite un modèle pour les mathématiques.
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