Werk · Analytische Philosophie
Grundlagen der Geometrie
Axiomatischer Aufbau der euklidischen Geometrie aus fünf Gruppen von Axiomen für undefinierte „Punkte“, „Geraden“ und „Ebenen“; Widerspruchsfreiheit und Unabhängigkeit der Axiome werden an Modellen bewiesen. Frege wandte ein, Axiome müssten von gegebenen Gegenständen wahr sein.
Einführung
Hilbert veröffentlichte die „Grundlagen der Geometrie“ 1899 in der Festschrift zur Enthüllung des Gauß-Weber-Denkmals in Göttingen; das Buch erlebte viele überarbeitete Auflagen. Es baut die euklidische Geometrie auf fünf Gruppen von Axiomen auf – der Verknüpfung, der Anordnung, der Kongruenz, der Parallelen und der Stetigkeit – für drei Systeme undefinierter Dinge, die Punkte, Geraden und Ebenen heißen und deren Eigenschaften allein durch die Axiome festgelegt sind. Hilbert bewies die Widerspruchsfreiheit der Axiome relativ zur Arithmetik durch ein Zahlenmodell und ihre Unabhängigkeit durch Modelle, in denen jeweils ein Axiom nicht gilt, und zeigte, welche Sätze von welchen Axiomen abhängen. Als Motto wählte er Kants Satz, alle menschliche Erkenntnis fange mit Anschauungen an, gehe von da zu Begriffen und endige mit Ideen. Frege wandte in Briefen (1899–1900) und zwei Aufsätzen ein, Axiome müssten wahre Sätze über gegebene Gegenstände sein; Hilbert antwortete, Widerspruchsfreiheit genüge. Das Buch machte die abstrakte axiomatische Methode zum Vorbild der Mathematik.
Weitere Werke von David Hilbert
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